本书探讨了分析学、几何学与拓扑学之间的关系。假设本书中讨论的任何流形都是紧的且没有边界，即它是一个闭流形(我们通常不总假设闭流形是连通的，在光滑类中进行工作)，它也在研究正曲率标量的度量中发挥主要作用。本书主要介绍球面空间形式群、分析学与拓扑之间的相互作用是由几何学调节的。球面空间形式是具有恒定正截面曲率的流形，球面空间形式群是同调维数为1的群，因此，这些流形和群本身就具有内在的意义。在本书中还介绍了许多新方法和新结果。